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Stabilité des asservissements

linéaires échantillonnés

I- Condition fondamentale de la stabilité

On  rappelle qu’un système continu est stable si et seulement les pôles de sa fonction de transfert G(p)=N(p)/D(p), qui sont les racines de l’équation D(p) = 0, sont tous à partie réelle négative. Or à  chaque élément simple de la décomposition de G(p), il apparaît un pôle pi auquel correspond un pôle simple zi = eTpi pour G(z)=Z[G(p], compte tenu de la relation fondamentale z = eTp,  reliant les variables p et z.

 

Les exemples suivants confirment cette remarque:

 

 

Pôles

-a

e-aT

 

-a et -b

e-aT et e-bT

Ainsi si on note pi = ai + jbi, un pôle pour G(p), on a zi = eTpi = eaiT ej biT. La condition de stabilité du système continu, à savoir ai < 0, implique que :

En d’autres termes, si pi est un pôle à partie réelle négative (i.e stable), son image par le changement de variable z = eTp se trouve à l’intérieur du cercle de centre (0,0) et de rayon unité.

 

D’où la condition fondamentale de stabilité d’un système échantillonné:

Un système à temps discret est stable si et seulement tous les pôles de sa fonction transfert G(z) = N(z)/D(z), racines de l’équation D(z) = 0, ont tous un module inférieur à 1, c’est-à-dire se trouvent tous à l’intérieur du cercle de centre (0,0) et de rayon unité du plan z.

II- Application aux systèmes asservis.

La figure ci-dessous représente le schéma fonctionnel canonique d’un asservissement échantillonné:

On note :

- G(z) = G1(z) G2(z) la fonction de transfert en boucle ouverte :

- F(z) la fonction de transfert en boucle fermée:

Lorsque le système étudié est un système bouclé (asservi ou régulé), on s’intéresse d’abord à sa stabilité en étudiant les pôles de la fonction de transfert en boucle fermée F(z); c’est-à-dire les racines de l’équation caractéristique 1 + G(z) = 0.

Cette équation n’est généralement facile à résoudre que dans le cas où le degré du polynôme 1 + G(z) est inférieur ou égal à deux.

Cette résolution se complique lorsque ce polynôme dépend d’un paramètre (ou plusieurs). En effet, dans ce cas il est difficile, voire impossible, de calculer les racines afin de conclure sur la stabilité.

D’où la nécessité de disposer des outils (critères) pour étudier la stabilité sans passer par la résolution de l’équation caractéristique.

III- Critères de stabilité

On classe les critères en deux catégories : les critères algébriques et les critères géométriques.  Parmi les critères algébriques, il y’a le critère de jury et le critère de Routh-Hurwitz.

III-1 Critère algébrique de Jury

Le critère de Jury est un critère permettant de déterminer à partir du polynôme caractéristique (dénominateur de la fonction de transfert en boucle fermée), le module des racines de l’équation caractéristique 1+ G(z) = 0, sans résoudre cette équation.

Pour ce faire, on écrit la fonction de transfert en boucle fermée sous la forme :

et on en déduit l’équation caractéristique suivante :

bn > 0  

n =2 :

      

n=3 :

      

Exemple 1

On considère l’équation caractéristique suivante : D(z) = z2 + z - 0.25 = 0.

La deuxième condition de stabilité n’est pas vérifiée et donc le système associé à cette équation caractéristique est instable. En effet, les racines de l’équation caractéristique sont : -1.2 et 0.2

Exemple 2:

On considère l’équation caractéristique suivante : D(z) = z3 + (k - 0.75)z - 0.25 = 0

Il s’agit d’étudier la stabilité en fonction du paramètre k. L’application du critère algébrique de Jury conduit à l’ensemble des inégalités suivantes :

è 0 < k < 1.6875

Exemple 3:

On considère l’asservissement avec échantillonnage de l’erreur suivant :

Le schéma fonctionnel valable uniquement aux instants d’échantillonnage est :

Il s’agit d’étudier la stabilité en fonction du paramètre k.

La fonction de transfert en boucle fermée s’écrit :

Le polynôme caractéristique est . La stabilité de l’asservissement est assurée si les conditions suivantes sont satisfaites :

  è     è 

III-2  Le critère algébrique de Routh-Hurwitz

On rappelle que le critère de Routh permet de déterminer l’existence de pôles à partie réelle positive à partir de l’étude des coefficients du dénominateur de la fonction de transfert, et ceci sans expliciter ces pôles. (Voir cours des systèmes linéaires continus)

Il est possible d’appliquer ce critère aux systèmes discrets en utilisant la transformation bilinéaire appelée aussi la transformation en w, qui fait correspondre à l’intérieur du cercle unité (le domaine de stabilité des systèmes discrets), le demi-plan complexe gauche (le domaine de stabilité des systèmes continus).

La transformation en w est la fonction complexe de la variable complexe z définie par l’expression suivante :

Lorsque z parcourt l’intérieur du cercle unité, w parcourt le demi-plan complexe à partie réelle négative, de manière bi-univoque. La fonction réciproque de la transformée en w est définie par :

Pour appliquer le critère de Routh-Hurwitz à un système discret, il suffit alors de transformer son équation caractéristique par la transformée en w et d’appliquer le critère de Routh pour le nouveau polynôme obtenu.

Exemple 1

On reprend l’exemple 1 ci-dessus : D(z) =z2 + z - 0.25 = 0. On applique la transformation en w :

 ; soit : . La table de Routh correspondant est donnée par :

w2

-0.25

1.75

w1

2.5

0

w0

1.75

 

Il y’a un changement de signe dans la première colonne de la table de Routh; cela implique la présence de pôle à partie réelle positive. D’où la même conclusion sur la stabilité; à savoir que le système associé à l’équation caractéristique est instable.

Exemple 2

On reprend l’exemple  2 relatif à de l’asservissement échantillonné dont l’équation caractéristique est :

En appliquant la transformation en w, on obtient :

La table de Routh associée est :

w2

2.74-0.11k

0.63k  

w1

1.26-0.52k 

0

w0

0.63k   

 

D’après le critère de Routh : pour qu’il n’y est pas de changement de signe dans la première colonne de la table, il faut que :

è 0 < k < 2.42

III-3  Le critère graphique d’Evans

III-3.1  Le principe

Le lieu d’Evans appelé aussi le lieu des racines représente l'ensemble des points du plan complexe qui sont solutions de l'équation caractéristique lorsqu'on fait varier un facteur. Plus précisément, lorsque le polynôme caractéristique du système comporte un paramètre varaible, le tracé du lieu d'Evans en  fonction de ce paramètre permet de connaître l'évolution des racines de l’équation caractéristique dans le plan complexe. Comme le domaine de stabilité est le cercle unité centré à l’origine, on déduit facilement du tracé du lieu des racines paramétré en fonction de ce paramètre les conditions de stabilité.

Pour ce faire, on écrit la fonction de transfert en boucle ouverte sous la forme suivante :  La fonction de transfert en boucle fermée :

L’équation caractéristique : .

Le paramètre supposé variable est le gain k. On trace dans le plan complexe l’ensemble des points représentant les solutions possibles de l’équation caractéristique en faisant varier k=0 à k= ¥ et on cherche les valeurs de k pour lesquelles les racines de l’équation caractéristique sont à l’intérieur du cercle de centre (0,0) et de rayon unité.

La figure suivante représente le lieu des racines de l’équation caractéristique z2 + (k-0.75)z - 0.25 = 0, en fonction du paramètre k lorsque celui-ci varie de 0 à ¥ :

III-3.2 Quelques règles de construction du lieu d’Evans

En pratique, les racines ne sont pas calculées directement . On utilise plutôt des règles de construction permettant de s'affranchir du calcul des racines.

On écrit la fonction de transfert en boucle ouverte sous la forme :

 

m zéros : z1,z2,..zm ,  racines de N(z) = 0

n pôles : p1,p2,..pn , racines de D(z) = 0;  n > m

L’équation caractéristique s’écrit :

 

Règle N°1

Le nombre de branches du lieu = nombre de pôles = n

Règle N°2

Points de départ du lieu : lorsque kè0, les racines de l’équation caractéristique sont celles de D(z) = 0. On dit que le lieu part des pôles de la fonction de transfert en boucle ouverte.

Règle N°3

Points d’arrivée du lieu : lorsque kè¥, l’équation caractéristique se réduit à .

  • Les m racines de l’équation caractéristique tendent vers les m zéros de la fonction de transfert en boucle ouverte. (racines à distance finie)

  • Les (n-m) racines de l’équation caractéristique tendent vers l’infini selon des directions asymptotiques. (racines à distance infinie)

Règle N°4

Les directions asymptotiques. On désigne par :

OD : une direction asymptotique

Ox : l’axe des réels.

Les directions asymptotiques font avec l’axe réel des angles définis par :

Les directions asymptotiques se coupent sur l’axe des réels au point

Règle N°5

Branches du lieu situées sur l’axe réel, c’est-à-dire la position des racines réelles de l’équation caractéristique.

Une partie de l'axe réel peut faire partie du lieu des pôles: c'est l'ensemble des points situés à gauche d'un nombre impair de pôles et zéros réels. Un pôle ou un zéro de multiplicité k doit être compté k fois. Sur les figures suivantes, on a tracé en trait gras les positions des racines réelles :

 

Règle N° 6

Le lieu des racines est un lieu paramétré en fonction de k. Il convient de préciser sur le lieu des racines la valeur de k pour laquelle les racines sont obtenues. Par exemple, les pôles de la fonction de transfert en boucle ouverte sont aussi les racines de l’équation caractéristique lorsque k tend vers zéro. On écrit alors k = 0 à côté des pôles. De même, les zéros de la fonction de transfert en boucle ouverte sont aussi les racines de l’équation caractéristique lorsque k tend vers l’infini. On écrit alors k = ¥ à côté des zéros, et ainsi de suite.

Un lieu des racines est un lieu orienté : il convient préciser par des flèches le sens des évolutions des racines dans le plan complexe lossque k augmente

 

Règle N° 7

Points d’intersection des branches du lieu sur l’axe réel.

Les branches du lieu se coupent en un ou plusieurs points a de l’axe réel. Ces points sont déterminés par la résolution de l’équation suivante:

Règle N° 8

Intersections avec l’axe imaginaire : Le lieu peut éventuellement couper l’axe imaginaire. Les points d’intersection sont obtenus en écrivant z = jb dans l’équation caractéristique.

III-3.2 Exemple de construction du lieu des racines

On considère un système asservi échantillonné de fonction de transfert en boucle ouverte :

L’équation caractéristique est donnée par :

Règle N°1 : le lieu possède 2 branches : une branche située sur l’axe réel qui sera précisée par la règle N°5. L’autre branche est à préciser ultérieurement.

Règle N°2 et N°3 : le lieu part des pôles 1 et 0.5 et aboutit au zéro à distance finie - 0.5 et vers l’infini selon une direction asymptotique.

Règle N°4, N°5 et N°6 : Il y’a une seule direction asymptotique (n-m=1) qui fait avec l’axe réel l’angle . La direction asymptotique est l’axe réel négatif.

Ces règles permettent déjà de tracer partiellement le lieu des racines :

Règle N°7 : les points de branchement sur l’axe réel.

D’après la figure ci-dessus, on voit qu’une racine part du pôle 0.5 et l’autre du pôle 1 pour k = 0. Au fur et à mesure que le gain augmente, les deux racines se déplacent selon les flèches indiquées pour se confondre en un point qui est justement le point de branchement divergent puis elles quittent l’axe réel pour devenir des racines complexes pour aboutir enfin à nouveau sur l’axe réel négatif au deuxième point de branchement; convergent cette fois-ci. On peut confirmer avec certitude que le premier point de branchement est situé entre 0.5 et 1; et l’autre est situé entre -0.5 et -¥.

Plus précisément, les points de branchement sont solutions de l’équation suivante :

soit 

 

Toutes les règles utilisées s’avèrent insuffisantes pour déterminer la deuxième branche du lieu des racines. On propose ci-dessous une méthode efficace pour tracer très rapidement un lieu des racines.

Règle supplémentaire 

On considère l’équation caractéristique dans laquelle on remplace z par x +iy :

1er cas y = 0  (solutions réelles)

Ce cas présente peu d’intérêt puisqu’on connaît déjà la position des racines réelles. Néanmoins, l’équation ci-dessous peut être utilisée soit pour calculer les racines réelles pour un gain k donné ou de déterminer ce gain pour des racines réelles données. Par exemple, on peut calculer les valeurs k1 et k2 correspondant respectivement aux points de branchement a1 et a1:

x = a1 è k1= 0.05

x = a2 è k2 = 4.959

2ème cas y ≠ 0  (solutions complexes)

C’est l’ensemble de ces solutions qui permettent de préciser la deuxième branche du lieu des racines.

De l’équation (2), on déduit que:

k =1.5 - 2.x  (3)

En remplaçant dans l’équation (1), on obtient :

Donc la deuxième branche du lieu des racines décrit un cercle de centre (-0.5;0) et de rayon

r =.

On vérifie aisément que le cercle passe bien par a1 et a2.

Le lieu des racines du système étudié est donné par la figure suivante :

III-3.3 Etude de la stabilité

Sur la figure ci-dessus, on a tracé le lieu des racines et le cercle de centre (0.0) et de rayon l’unité C(0,1). Toutes les racines situées à l’intérieur de ce cercle sont stables. Il s’agit de déterminer la valeur k= km correspondant à la limite de stabilité. Plusieurs méthodes sont possibles :

Méthode algébrique :

Au point d’intersection du lieu et du cercle C(0,1), on a  les équations suivantes :

è x = 0.25

D’après l’équation (3) reliant x à k : k =1.5 - 2.x, on a : k =km = 1.

Méthode algébrique-géométrique :

Au point d’intersection du lieu et du cercle C(0,1), on peut déterminer graphiquement ou algébriquement les coordonnées (x,y). Dans le cas de l’exemple, on a : x = 0.25 ; ce qui conduit bien entendu au même résultat en utilisant la relation (3).

Méthode géométrique:

Cette méthode repose sur l’observation suivante : L’équation caractéristique   peut s’écrire sous la forme suivante :

Pour un point zo du lieu correspondant à une valeur ko, on a :

Soit :

   dis = distance

C’est-à-dire le rapport du produit des distances entre le point zo et les pôles de la fonction de transfert en boucle ouverte sur le produit des distances entre le point zo et les zéros de la fonction de transfert en boucle ouverte.

Cette règle générale est commande pour déterminer le gain k à n’importe quel point appartenant au lieu des racines; en particulier le gain km, correspondant à la limite de stabilité. Dans l’exemple traité, en remarquent que d1 = d3 = r = 1.23 (rayon du cercle) et  d2 = 1 (rayon de C), on a :

Remarques :

  • Les distances doivent être mesurées en tenant compte de l’échelle adoptée pour tracer le lieu des racines sauf s’il y’a autant de pôles que de zéros dans la FTBO.
  • Il est parfois commode de calculer algébriquement les différentes distances en se basant sur le tracé lui-même. C’est le cas l’exemple traité ci-dessus.

III-3.2 Assistance informatique pour tracer le lieu d’Evans

Le raisonnement établi pour tracer le lieu d’Evans et plus particulièrement la deuxième branche correspondant aux racines complexes a été possible du fait que le polynôme caractéristique est d’ordre 2. Dans le cas d’un ordre supérieur, il est devient plus difficile de tracer le lieu et souvent on fait appel aux logiciels tel que Matlab.

La fonction Matlab permettant le tracé du lieu d’Evans et la détermination des valeurs du gain correspondant à des points particuliers du lieu est rlocus.m

>> rlocus(num,den)

où num et den représentent respectivement le numérateur et le dénominateur de la fonction de transfert en boucle ouverte.

Ou :

>> rlocus(num,den,k)

Si on souhaite spécifier le tracé pour un ensemble de valeurs de k = [k1 k2 ..].

Ainsi, l'exemple précédent, le tracé peut  être rapidement obtenu en déclarant :

>> num=[1 0.5];

>> den =[1 -1.5 0.5];

>> rlocus(num,den)

Un “clik“  sur le lieu des racines permet d’afficher un certain nombre d’information dont la valeur du gain k. Sur la figure ci-dessus, on peut lire en particulier les cordonnées (x,y) et le gain km.