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6.5. méthodes de réglages des paramètres du régulateur PID.

Par un choix des actions et de leurs paramètres, il est possible d’obtenir un comportement désiré en boucle fermée, traduisant les performances souhaitées et formulées dans un cahier des charges.

De manière qualitative, les critères à satisfaire sont les suivants :

  • Les effets de perturbations doivent être minimisés ou encore mieux, ils doivent être effacés complètement et ce, le plus rapidement possible.

  • Les changements de consigne doivent être suivis rapidement et avec une bonne précision.

De manière quantitative, il s’agit de proposer  les actions (P,I,D) du régulateur et de fixer les valeurs à donner aux paramètres (Kp, Ti, Td) répondant le mieux possible aux spécifications d’un cahier des charges.

Le problème de la détermination des régulateurs est connu par la synthèse des systèmes bouclés. Les méthodes de synthèse sont très nombreuses et une classification rigoureuse n’est pas une tâche facile. Néanmoins, on distingue dans le cadre de ce cours les deux types de méthodes :

§ Les méthodes dites empiriques ne nécessitant pas une connaissance parfaite du modèle du procédé à commander. Les paramètres du régulateur seront calculés à partir des observations expérimentales sur le procédé (Relevé de la réponse indicielle par exemple). L’intérêt majeur de ces méthodes réside dans leur simplicité. Elles sont largement utilisées dans le domaine industriel et elles sont dans la plus part des cas suffisantes mais ne permettent pas un réglage fin.

§ Les méthodes basées sur la connaissance du modèle du système sous forme de fonction de transfert par exemple. Les actions du régulateur seront calculées de façon à obtenir la fonction de transfert souhaitée en boucle ouverte ou en boucle fermée.

6.5.1. Méthodes empiriques de Ziegler&Nichols.

Ziegler et Nichols ont proposé deux approches expérimentales destinées à fixer rapidement les paramètres des régulateurs P, PI et PID. La première nécessite l’enregistrement de la réponse indicielle du système à régler, alors que la deuxième exige d’amener le système en boucle fermée à sa limite de stabilité.

6.5.1.1. Méthode de Ziegler&Nichols en boucle ouverte.

a- Mode opératoire

Fig 6.17

§ Le régulateur est en mode automatique et la boucle est dans état stabilisé. La sortie du régulateur indique une commande u0 et la sortie du procédé indique une valeur y0.

§ On affiche la valeur u0 sur le module de la commande manuelle.

§ On met le régulateur en mode manuel c’est-à-dire qu’il est déconnecté de la boucle.

§ On envoie une variation constante du signal de commande sur l’entrée procédé et on enregistre sur une table traçante la variation du signal de mesure à la sortie du procédé.

Il s’agit donc de l’enregistrement de la réponse indicielle du procédé seul.

b- Exploitation de la réponse indicielle

Sur l’enregistrement de la réponse indicielle, on trace le mieux possible la tangente au point d’inflexion Q de la courbe. On mesure ensuite le temps Tu correspondant au point d’intersection entre l’axe des abscisses et la tangente ainsi que le temps Ta « temps de montée de la tangente ».

Fig 6.18

c- Réglage du régulateur PID

Ziegler&Nichols proposent de calculer les paramètres du régulateur P, PI ou PID à l’aide des recommandations suivantes:

Réglage des paramètres

Régulateur

Kp

Ti

Td

P : 

 

*

*

PI :

3.33 Tu

*

PID :

2.0 Tu

0.5 Tu

Une illustration de cette démarche est donnée ci-dessous pour la réponse indicielle d’un procédé à un échelon unité.

Fig 6.19

On relève les paramètres suivants :

Le tableau de réglage proposé par Ziegler&Nichols est:

Action

Kp

Ti

Td

P

9.25

*

*

PI

8.33

2.66

*

PID

11

1.6

0.4

Les réponses indicielles en boucle fermée sont données par les figures suivantes avec une consigne égale à 1.

Régulation P

Régulation PI

Régulation PID

Fig 6.20

Généralement les gains proportionnels (Kp) proposés par Ziegler&Nichols sont trop élevés et conduisent à un dépassement supérieur à 20%. Il ne faut pas craindre de réduire ces gains d’un facteur 2 pour obtenir une réponse satisfaisante.

6.6.1.2. Méthode de Ziegler&Nichols en boucle fermée.

a- Mode opératoire

Fig 6.21

§ Le régulateur est en mode automatique avec une faible valeur de Kp. Les actions I et D sont inhibées en mettant Ti =Timax et Td = 0.

§ On augmente progressivement le gain Kp du correcteur proportionnel agissant seul jusqu’à l’obtention de la juste oscillation de la boucle (pompage).

b- Exploitation du résultat de pompage de la boucle

On relève le gain limite (Kpc) conduisant au pompage de la boucle et la période des oscillations Tc correspondant à ce fonctionnement à partir de n’importe quel point d’observation (sortie du régulateur, sortie du procédé..).

Fig 6.22

c- Réglage du régulateur PID

Ziegler & Nichols proposent de calculer les paramètres du régulateur choisi à l’aide des recommandations suivantes :

Réglage des paramètres

Régulateur

Kp

Ti

Td

P : 

0.5 Kpc

*

*

PI :

0.45 Kpc

0.83 Tc

*

PID :

0.6 Kpc

0.5 Tc

0.125 Tc

Pour illustrer cette démarche, on considère le même système considéré plus haut et pour lequel on a les résultats du pompage suivants : Kpc=16 et Tc = 3.63 (l’unité du temps n’est pas précisée ici)

Le tableau de réglage proposé par Ziegler&Nichols est :

Action

Kp

Ti

Td

P

 8

*

*

PI

7.2

3

*

PID

9.6

1.82

0.45

On note au passage que les deux méthodes de Ziegler&Nichols conduisent à des valeurs très proches pour les paramètres du régulateur et par conséquent les performances seront similaires.

En effet, les réponses indicielles en boucle fermée sont données par les figures suivantes avec une consigne égale à 1.

Régulation P

Régulation PI

Régulation PID

Fig 6.23

Les valeurs proposées par Ziegler&Nichols ont été testées dans de très nombreuses situations. Elles conduisent également à un temps de montée relativement court assorti d’un dépassement élevé.

6.6.2 Méthode empirique : Méthode de la réglabilité.

Les méthodes précédentes peuvent conduire à des réponses en boucle fermée très oscillante, ce qui est particulièrement gênant lors des changements de consigne.

La présente méthode dite de réglabilité constitue une version adoucie des réglages précédents. Elle est basée sur la réponse indicielle du système (en boucle ouverte : pas de régulateur).

Le mode opératoire et l’exploitation de la réponse indicielle sont ceux de la première méthode de Ziegler & Nichols.

Les paramètres du régulateur sont déterminés en fonction du « coefficient de réglabilité » défini par le rapport :

Il s’agit du même rapport qui intervient dans la première méthode de Ziegler&Nichols basée sur la réponse indicielle. Il traduit l’importance du retard Tu par rapport à la constante de temps Ta.

Le tableau suivant fournit des relations empiriques pour calculer les coefficients du régulateur et déterminer son type selon le rapport r :

r

Kp

Ti

Td

0.05 à 0.1

Ta

0

0.1 à 0.2

Ta

0

0.2 à 0.5

Au delà

PID non recommandé

 

Remarque : dans les propositions ci-dessus K représente le gain statique du procédé.

Une illustration de cette méthode est donnée pour l’exemple du système dont la réponse indicielle donnée par la figure 6.27 et pour lequel on a : K= 0.5 ;  r = 0.8/3.7 = 0.216. On prendra alors un régulateur PID dont les paramètres sont :

r

Kp

Ti

Td

0.216

5.13

4

0.36

Ce qui fournit la réponse indicielle en boucle fermée donnée par la figure ci-dessous. On note que la réponse est plus douce en comparaison avec les autres réglages.

Fig 6.24

6.5.3. Exemple de synthèse sur les méthodes empiriques.

La figure 6.25 suivante représente le schéma simplifié d’un échangeur thermique de chaleur. Le but de l’installation est la régulation de la température Tc du fluide à la sortie de l’échangeur.

Fig 6.25

On note:

- Qc : débit du fluide chaud de température Tc, c’est la grandeur de réglage. Il est ajusté par un ensemble servomoteur-vanne en agissant sur la tension V.

- Qf : débit du fluide froid de température Tf.

- T2 : température à la sortie de l’échangeur, grandeur à régler.

- M : grandeur mesurée par le capteur-transmetteur de mesure TM.

- VN: servomoteur-vanne.

Le schéma fonctionnel de l’installation en boucle fermée est représenté par la figure 6.26 où H1, H2, H3 représentent les fonctions de transfert perturbatrices (entre les entrées secondaires et la grandeur régulée) et G représente la fonction de transfert réglante (entre l’entrée réglante et la grandeur régulée).

Fig 6.26

R(p) est un régulateur PID:

Les résultats des essais en boucle ouverte (réponse indicielle) et en boucle fermée (pompage) sont présentés ci-dessous :

a- Les essais

§ Essai en boucle ouverte

Le régulateur est en mode manuelle. On provoque une variation   ∆v = 10% sur l’entrée de commande. La réponse du procédé est enregistrée sur un enregistreur comme la montre la figure ci-dessous.

A partir de la réponse indicielle, on relève les paramètres suivants :

                                                                            

         

Fig 6.27

§ Essai en boucle fermée (pompage)

Le régulateur est en mode automatique et R(p) = Kp. La juste oscillation est obtenue avec les paramètres:

- Gain limite Kpc = 2

- Tc = 217 s

b- Réglage des paramètres du régulateur

Les paramètres du régulateur PID sont donnés selon les différentes méthodes par le tableau suivant :

Méthode

Kp

Ti

Td

Ziegler&Nichlos

(boucle ouverte)

1.38

96

24

Ziegler&Nichlos

(pompage)

1.2

108

27

Méthode de réglabilité

0.64

244

22

c- Comparaison des performances

Le tableau suivant résume les performances obtenues en boucle fermée par analyse de la réponse indicielle à une consigne de 10% :

Méthode

Dépassement indiciel

Temps de réponse à 5%

Erreur statique

Ziegler&Nichlos

(boucle ouverte)

65 %

650 s

0

Ziegler&Nichlos

(pompage)

53 %

465 s

0

Méthode de réglabilité

12.5 %

422 s

0

La réponse indicielle en boucle fermée est fournie par la figure ci-dessous avec les paramètres du régulateur donnés par la méthode de réglabilité.

Fig 6.28

Analyse des performances

Comme il est prévisible, les méthodes de Ziegler&Nichols fournissent des dépassements importants assortis d’un temps de réponse qui restent comparables au temps de réponse fournis par les autres méthodes. La méthode de réglabilité a donné les meilleures performances transitoires.

6.5.4. Bilan sur les diverses méthodes empiriques.

En conclusion générale sur les méthodes empiriques dont certaines ont été présentées ici, on peut d’abord souligner que leur grand avantage réside dans le fait qu’elles sont simples à mettre en œuvre et qu’elles ne nécessitent pas une connaissance parfaite du modèle du procédé à commander. On apprécie forcément ce point quand on connaît la difficulté de disposer d’un modèle précis.

Les performances auxquelles elles conduisent peuvent être suffisantes au regard d’un cahier des charges peu exigeant. Il appartient au régleur de la boucle d’intervenir dans le bon sens sur les réglages recommandés de manière à améliorer les performances de celle-ci.